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Faculty of Mathematics, Physics & Computer Science

Chair of Scientific Computing

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Ingenieurmathematik 1-3 - Inhalt

Zeichenerklärung:

Zur Vor- und Nachbereitung der Vorlesung wird die im Literaturverzeichnis angegebene Literatur empfohlen.

Für die Bücher Meyberg/Vachenauer sind die  Kapitel- und Seitenangaben in Klammern angegeben.
MV1 = K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Band 1
MV2 = K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Band 2

Wirtschaftsingenieure (Bachelor) und Angewandte Informatiker (Bachelor) hören nur die ersten beiden Vorlesungen Ingenieurmathematik 1+2.

Einteilung der Kapitel auf die drei Semester:

  • Ingenieurmathematik 1: Kap. 1-6 (ca.!)
  • Ingenieurmathematik 2: Kap. 7-8 (ca.!)
  • Ingenieurmathematik 3: Kap. 10, 9.0-9.2, 9.8, 9.5, 11, 12, 9.4 (ca.!)
Kapitel 1: Zahlen und VektorenHide

1.1 Reelle Zahlen
(MV1 Kap. 1.2, S. 3-11)
Vollständige Induktion, Potenzen, Fakultät, Summen- u. Produktzeichen, Binomische Formel 

1.2 Winkel- und Kreisfunktionen
(MV1 Kap. 1.3.3, S. 14-15, Kap. 2.3.1-2.3.2, S. 75-79)

1.3 Vektorrechnung im IR2 und IR3
(1.3 - 1.4: MV1 Kap. 1.4-1.6, S. 11-47, Kap. 6.3, S. 274-285)

Vektoren, Geraden und Ebenen, Orthogonalität, Orthonomalsystem, Projektion, Kreuzprodunkt, Drehmoment, Spatprodukt, Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen [Fortsetzung in Kap 7.1], Zwischenwinkel zweier Geraden, Hesse-Normalform, Lage zweier Geraden, Lage zweier Ebenen, Lage Gerade und Ebene

1.4 Vektorrechnung im IRn
Vektorräume, Linearkombination, Erzeugnis, Spann, Untervektorraum, linear abhängig, linear unabhängig, Basis, Dimension

1.5 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten
(MV1 Kap. 6.1-6.6.1, S. 250-313)
Gauß-Algorithmus, quadratische Matrizen, Matrixmultiplikation, Einheitsmatrix, inverse Matrix, Determinanten, Regel von Sarrus, Cramersche Regel für 2x2 LGS, Rang, Lineare Abbildungen 

1.6 Komplexe Zahlen
(MV1 Kap. 1.8, S. 53-57)
Fundamentalsatz der Algebra
Wichtig für Kap 5 und 9.2 (Differentialgleichungen)

1.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
(MV1 Kap. 6.6.7, S. 326ff)
Eigenwert, Eigenvektor, charakteristisches Polynom, algebraische und geometrische Vielfachheit, Numerische Berechnung von EW und EV 

1.8 Quadratische Formen, Symmetrische Matrizen, Quadriken
(MV1 Kap. 6.7)
Quadratische Form, Hauptachsensystem, EW-Problem bei symmetrischen Matrizen, Quadriken, Quadriken-Normalform

​Kapitel 2: Funktionen, Grenzwerte, StetigkeitHide

2.1 Grundbegriffe und einfache Funktionen
(MV1 Kap. 2.1, S. 58-60)

2.2 Polynome und rationale Funktionen
(MV1 Kap. 2.2, S. 61-74)
Interpolation, Koeffizientenvergleich, Nullstellenproblem, Polynomdivision, rationale Funktionen, qualitativer Verlauf für große |x| 

2.3 Zahlenfolgen und Grenzwerte
(MV1 Kap. 2.4-2.5, S. 88-102)
Zahlenfolge, Grenzwert, Monotonie-Kriterium

2.4 Funktionengrenzwerte und Stetigkeit
(MV1 Kap. 2.6, S. 103-111)
Funktionengrenzwert, rechts- und linksseitiger Grenzwert, Stetigkeit, Existenz einer Nullstelle, Zwischenwertsatz, Min-Max-Eigenschaft

Kapitel 3: DifferentialrechnungHide

(MV1 Kap. 3, S. 112-160)

3.1 Ableitung einer differenzierbaren Funktion
Differentialquotient, Tangente, Differenzenquotient, differenzierbar, stetig differenzierbar, Ableitungsregeln, Physikalische Deutung der Ableitung als Geschwindigkeit, Lineare Approximation einer nicht-linearen Funktion mit Hilfe der Ableitung, Ableitung von Polynomen und Kreisfunktionen, Kettenregel

3.2 Anwendung der Differentiation
Kurvendiskussion, Maxima und Minima, Mittelwertsatz, Extremwerttest, Wendepunkt, Taylorpolynom, Grenzwertregel von L'Hôpital, Newton-Verfahren 

3.3 Umkehrfunktionen
Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion, n-te Wurzel, rationale Exponenten, Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen - Arkusfunktionen 

3.4 Elementare Funktionen
Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Hyperbelfunktionen

​Kapitel 4: Integralrechnung Hide

(MV1 Kap. 4, S. 161-189, S. 204-211)

4.1 Das bestimmte Integral
Riemann-Integrierbar, Mittelwertsatz der Integralrechnung

4.2 Das unbestimmte Integral
Stammfunktion, unbestimmtes Integral

4.3 Berechnung von Integralen
Grundintegrale, Partielle Integration, Substitutionsregel, Partialbruchzerlegung [sehr wichtig für die Laplace-Trafo (Ing.math. 3, Elektrotechnik, Regelungstechnik usw.)], Integration rationaler Funktionen

4.4 Uneigentliche Integrale

4.5 Anwendungen: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven, Kinematik

Kapitel 5: Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten KoeffizientenHide

(MV2 Kap. 9.3.1-9.3.5, S. 34-43)

Wichtig für Technische Mechanik, Elektrotechnik, Regelungstechnik usw.
[Fortsetzung: Kap. 9.3.1 Eulersche DGL (wichtig für Strömungsmechanik)
sowie das gesamte Kap. 9.]

5.1 Einführendes Beispiel - Lineare mechanische Schwingung

5.2 Einleitende Definitionen und Bemerkungen

5.3 Lösung der homogenen linearen DGL

5.4 Lösung der inhomogenen linearen DGL
Ansätze vom Typ der rechten Seite 
Variation der Konstanten

5.5 Anfangs- und Randbedingungen

5.6 Ausblick: Lin. DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

​Kapitel 6: ReihenHide

(MV1 Kap. 5, S. 212-249)

6.1 Unendliche Reihen
Zahlenfolge, Partialsumme, unendliche Reihe, konvergent, divergent, absolut konvergent, geometrische Reihe, harmonische Reihe, Minorantenkriterium, Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Cauchy-Produkt, Umordnungssatz, Leibniz-Kriterium

6.2 Potenzreihen
Potenzreihe, Konvergenzbereich, Entwicklungspunkt, Konvergenzradius 

6.3 Taylorreihen
Taylor-Formel, Taylor-Reihe, Anwendungen und Beispiele, Potenzreihenansatz zur Lösung von einfachen Differentialgleichungen 

​Kapitel 7: Differentiation von Funktionen in mehreren VariablenHide

(MV1, Kap. 7)

7.1 Kurven
Parameterdarstellung, Parameterwechsel, Bogenlänge, Tangentenvektor, Krümmung
[Fortsetzung: Berechnung der Arbeit entlang gekrümmter Kurven (Kap. 8.4 & 8.5)]

7.2 Funktionen in mehreren Variablen

7.3 Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen

7.3.1 Grenzwert und Stetigkeit

7.3.2 Partielle Ableitung

7.3.3 Totale Ableitung, lineare Approximation, Tangentialebene

7.3.4 Richtungsableitung, Kettenregel

7.4 Approximationen höherer Ordnung, Taylorformel

7.5 Lokale Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen

7.6 Ausgleichsrechnung

7.7 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

7.7a* Lineare Optimierung

7.8 Implizite Funktionen

7.9 Vektorwertige Funktionen und ihre lineare Approximation

Kapitel 8: IntegrationHide

8.0 Parameterintegrale
(MV1 S. 430ff)

8.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)
(Leupold 2 Kap. 10.2.1)

8.2 Dreifachintegrale
(Leupold 2 Kap. 10.2.2-3)

8.3 Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen
(MV1 S. 477ff)

8.4 Kurvenintegrale (2. Art)

8.5 Kurvenintegrale (1. Art)

8.6 Oberflächenintegrale

8.6.1 Parametrisierte Flächen

(Leupold 2 Kap. 11.3.1-2)

8.6.2 Flächeninhalt, Oberfläche
(Leupold 2 Kap. 11.3.5)

8.6.3 Oberflächenintegral 1. Art

8.6.4 Oberflächenintegral 2. Art (Fluss)
Fortsetzung: Satz von Gauss/Divergenzsatz im Kap 10
Wichtig für Elektrotechnik, Strömungsmechanik, usw.

​Kapitel 9: Gewöhnliche Differentialgleichungen (Fortsetzung von Kap. 5)Hide

(Leupold 2 Kap. 8; Ansorge/Oberle 2 Kap. 20-24; MV2 Kap. 9)

9.0 Aufstellung von DGLen und Definition
(Leupold 2 Kap. 8.1; Ansorge/Oberle 2 Kap. 20.1)

9.1 Gewöhnliche DGLen 1. Ordnung
(Leupold 2 Kap. 8.2; Ansorge/Oberle 2 Kap. 20.2, 21; MV2 Kap. 9.1, 9.2.2, 9.2.3, 9.4)

9.1.1 Einführung

9.1.2 Geometrische Bedeutung - Richtungsfeld - Bezeichnungen

9.1.3 Separierbare DGL (Trennbare DGL)

9.1.4 Lineare DGL 1. Ordnung

9.1.5 Standardsituation - Existenz - Eindeutigkeit
(MV2 S. 50-57)

9.2 Gewöhnliche DGL-Systeme 1. Ordnung
(Leupold 2 Kap. 8.4; Ansorge/Oberle 2 Kap. 22.1, 22.2; MV2 Kap. 9, �8, �9)

9.2.1 Einführung

9.2.2* Eine Klasse von Beispielen für lineare DGL-Systeme erster Ordnung: Kompartimentmodelle

9.2.3 Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanter Koeffizientenmatrix

9.3 Weitere Typen von skalaren nichtlinearen DGLen

9.3.1 Eulersche Differentialgleichungen

9.3.2*** Exakte DGL, die DGL mit integrierendem Faktor
(Leupold 2 Kap. 8.2.6.3; MV2 Kap. 9, �2.1, �2.4)

9.4* Lösung von gewöhnlichen DGLen mit Potenzreihenansatz
(Leupold 2 Kap. 8.2.7.1; MV2 Kap. 9, §7)

9.5 Rand- und Eigenwertprobleme

9.5.1 Randwertprobleme
(Ansorge/Oberle 2 Kap. 23.1, 23.3; MV2 Kap. 9, §11.1-11.3)

9.5.3 Eigenwertprobleme
(Ansorge/Oberle 2 Kap. 23.4; MV2 Kap 9, § 11.4)

9.8 Laplace-Transformation
[wurde früher manchmal als Kapitel 8.7 gelesen]
(Leupold 2 Kap. 9; MV2 Kap. 9, �6)

​Kapitel 10: VektoranalysisHide

Divergenz, Gaußscher Integralsatz, Rotation, Rotation und Kurvenintegrale 2. Art, Satz von Green, Laminare Rohrströmung, Laplace-Operator

(Leupold 2 Kap. 10.3; MV1 S. 424ff, S. 496ff, S. 484ff)

​Kapitel 11: Fourier-ReihenHide

(MV2,Kap. 11 S. 285-321 oder Ansorge/Oberle Band Band 1)

​Kapitel 12: Ausblick in die Partiellen DifferentialgleichungenHide

12.1 Wellengleichung
(MV2 S. 360-361, S. 387-390, S. 402)

12.2 Wärmeleitungsgleichung (evtl. nur Übungsaufgabe)

Zeichenerklärung:
MV1 = K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Band 1
MV2 = K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Band 2  

Manche der mit * bezeichneten Kapitel werden bei genügender Zeit gelesen. Die mit *** bezeichneten Kapitel werden höchstwahrscheinlich nicht gelesen.


Webmaster: Massimo Pinzer-Braese

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