Was ist Numerische Mathematik?
Was ist Wissenschaftliches Rechnen?

Die Numerische Mathematik beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Rechenverfahren, ihrer Analyse und ihrer Umsetzung in Rechenprogramme für digitale Rechenautomaten. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die Diskussion von Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen mathematischer Problemstellungen, sondern zielt auf die konkrete Berechnung der Lösungen. Näherungen für die (unbekannte) exakte Lösung werden dabei als gleichwertig akzeptiert, wenn deren Fehler durch Steigerung des technischen Aufwandes beliebig klein gemacht werden können. Beispielsweise ist zwar bekannt, dass Lösungen von Polynomgleichungen existieren, es gibt aber im Allgemeinen keine Möglichkeit, diese ab einem Polynomgrad von mindestens 5 durch eine endliche Folge arithmetische Operationen und Wurzeln zu berechnen (Beispiel: x5=x-1).

Daher sind bereits einfachste Probleme nicht ohne den Einsatz numerischer Methoden behandelbar. Neue leistungsfähige und ausgefeilte numerische Verfahren erlauben es, mathematische Aufgabenstellungen zu lösen, denen immer komplexere und realitätsnahe Modelle aus konkreten Anwendungen zugrundeliegen. Man ist heute in der Lage, ganze technische Abläufe durch numerische Simulation im Rechner vor der eigentlichen Fertigung zu verstehen und zu beherrschen. Die mathematische Vorausberechnung technischer Prozesse hat eine immense Bedeutung für zahlreiche Schlüsselbereiche der Wirtschaft. Beherrscht man die Simulation technischer Prozesse, möchte man diese dann in naheliegender Weise auch gestalten. Steuerung und Optimierung technischer Prozesse folgen dann der Simulation.

An der Nahtstelle zwischen Mathematik, Informatik und Ingenieurwissenschaften hat sich dabei eine Disziplin entwickelt, das Wissenschaftliche Rechnen. Hier werden mit numerischen Methoden schwierigste Probleme aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber mehr und mehr auch aus anderen Wissenschaftsgebieten gelöst. Ausgehend von der Erstellung eines mathematischen Modells zur möglichst genauen Beschreibung eines konkreten Anwendungsproblems, über die Analyse des mathematischen Problems und seiner numerischen Lösung (gegebenenfalls unter Verwendung von modernen Höchstleistungsrechnern und mit Hilfe von zumeist neu zu entwickelnden oder auf die gegebene Problemstellung zugeschnittenen numerischen Verfahren spannt sich der Bogen bis hin zur Rückübersetzung der berechneten Ergebnisse in die Sprache des Anwenders. Ziel ist es immer, teure, reale Experimente durch preisgünstigere Computerexperimente zumindest teilweise zu ersetzen. Oft können sogar virtuelle Experimente auf dem Rechner durchgeführt werden, die in der Realität so nicht durchführbar sind.

Vorlesungskanon

Neben Vorlesungen und Seminaren in den Studiengängen der Mathematik zu den Themen

  • Numerik partieller Differentialgleichungen
  • Partielle Differentialgleichungen
  • Einführung in die Numerik
  • Hierarchische Matrizen
  • Numerische Lineare Algebra
  • Nichtlineare Optimierung
  • Innere Punkte Verfahren der Optimierung
  • Biomathematik - Mathematische Modellierung dynamischer biologischer und chemischer Prozesse
  • Theorie und Numerik differential-algebraischer Gleichungen
  • Singulär gestörte Differentialgleichungen
  • Theorie und Numerik von Integralgleichungen
  • Variationsrechnung und Optimale Steuerung
  • Optimale Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen und differential-algebraischer Gleichungen
  • Numerische Methoden der optimalen Steuerung
  • Finite Elemente

übernimmt der Lehrstuhl die mathematische Grundausbildung für Ingenieure und Informatiker

  • Ingenieurmathematik 1-3
  • Numerik für Naturwissenschaftler, Ingenieure und Informatiker


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