Forschungsprojekte

1. Neue Formen der Adaptivität bei der Kreuzapproximation nicht-lokaler Operatoren

Bei vielen Anwendungen aus Physik, Ingenieurwissenschaften und Wirtschaft treten nicht-lokale Operatoren auf. Diskretisiert man diese, so erhält man voll besetzte Matrizen, die wegen der Komplexität der zugrunde liegenden Geometrie oder der angestrebten Genauigkeit der Lösung in der Regel großdimensioniert sind. Bereits die Speicherung solcher Matrizen stellt somit ein Problem dar, und die numerische Lösung von Gleichungssystemen, in denen diese als Koeffizientenmatrix auftreten, ist derzeit mittels klassischer Auflösungsverfahren in annehmbarer Zeit nicht realisierbar. In diesem Projekt soll ein neuer Zugang zur effizienten numerischen Behandlung von nicht-lokalen Operatoren entwickelt und untersucht werden. Sowohl die Schnelle Multipol-Methode als auch Hierarchische Matrizen können verwendet werden, um großdimensionierte Diskretisierungen solcher Operatoren mit logarithmisch-linearer Komplexität zu behandeln. Dabei wird der Operator lokal bzw. blockweise mit vorgegebener Genauigkeit approximiert. Die Approximation ist daher universell für alle rechte Seiten eines Gleichungssystems einsetzbar, wenn Gleichungssysteme mit diesem Operator gelöst werden sollen. Sind es viele Gleichungssystem mit demselben Operator, so ist diese Art der Approximation besonders effizient. Häufig (wahrscheinlich sogar in den meisten Fällen) ist aber nur ein einziges System für einen Operator zu lösen, weil dieser sich beispielsweise im Laufe einer Simulation verändert. In einer solchen Situation bietet die Universalität der Approximation keinen Vorteil -- ganz im Gegenteil: die Universalität wird durch die Generierung überflüssiger Informationen und deren Speicherung teuer bezahlt. Weil derzeit kaum Alternativen existieren, wird diese Art der Approximation aber dennoch verwendet. Das Ziel des Projektes ist es, diese Situation zu verbessern, indem eine neue Technik entwickelt wird, die die Approximation auf die rechte Seite zuschneidet. Dabei wird die neue Vorgehensweise sowohl auf die Schnelle Multipol-Entwicklung als auch auf Hierarchische Matrizen anwendbar sein.

Geldgeber: DFG via Projekt im Normalverfahren

Dauer des Projekts: May 2016 - April 2019.

2. Low-rank approximation for PDEs with uncertainties

The mathematical simulation of many physical processes in different areas of science and engineering leads to partial differential equations with stochastic coefficients. Usually, the discretization of the stochastic PDE results in parameterized deterministic PDEs, where the statistical properties of the random input data determine the dimension of the parameter space. If the dimension is small we aim at applying hierarchical matrix based solvers due to its robustness with respect to the deterministic operator's coefficients. Furthermore, this structure allows to exploit similarities between the systems. If the parameter space is high-dimensional, data-sparse representations (i.e. tensor approximations) of the unknowns and the given data are required. Here, recent high-dimensional generalizations of the adaptive-cross approximation method can be used.

 SFB1060

Geldgeber: DFG via Projekt im SFB 1060 The Mathematics of Emergent Effects

Dauer des Projekts: January 2013 - June 2015.

3. Tensorwertige Approximation mit Anwendung in der Akustik und Elektrodynamik

Im Rahmen des Projektes werden Fragestellungen aus dem Bereich der effektiven adaptiven Approximation von tensorwertigen Daten bearbeitet, die insbesondere bei der numerischen Modellierung und Lösung von parameterabhängigen mehrdimensionalen Integralgleichungen entstehen. Beispielhaft werden dazu Streuprobleme akustischer und elektromagnetischer Wellen betrachtet, wobei die Wellenzahl der zusätzliche Parameter ist. Zur numerischen Behandlung eignet sich die Randelementmethode. Diese führt auf vollbesetzte komplexwertige Matrizen, die ohne eine effektive Approximation nicht bearbeitet werden können. Besonders schwer wird die Situation, wenn, wie in der Praxis oft der Fall, ein ganzes Spektrum von Frequenzen (10^2-10^4) von Interesse ist. Während die Approximation einzelner vollbesetzter Matrizen seit Ende der 90er Jahre als ACA-Methode (``Adaptive Cross Approximation'') entwickelt wurde und inzwischen weltweit benutzt wird, steht die Entwicklung entsprechender Approximationsmethoden für drei- und allgemein mehrdimensionale Daten dagegen noch aus und bildet den ersten und wichtigsten Schwerpunkt des Projekts. Der zweite Schwerpunkt ist die BEM für Multifrequenzstudien von Streuproblemen für die Helmholtz-Gleichung, der dritte Schwerpunkt bildet die entsprechenden elektromagnetischen Streuprobleme. Besonders bei letzteren sind die Multifrequenzstudien für beide Grenzfälle (niedrige und hohe Frequenzen) nichttrivial und führen auf Gleichungssysteme, die wegen einer extrem schlechten Kondition oft eine Herausforderung darstellen.

Geldgeber: DFG via Projekt im Normalverfahren

Dauer des Projekts: November 2010 - Oktober 2013

4. Multiscale problems and hierarchical matrices

The aim of this project is to investigate a new approach to preconditioning finite element discretizations of differential operators by hierarchical matrix approximations. In order to improve their efficiency, approximations to eigenspaces corresponding to small eigenvalues will be preserved by exploiting multiscale eects. The new method will be used for the efficient simulation of singular phenomena in micromagnetics. New formulations of the stray field energy functional will allow to develop fast techniques for computing stable congurations and minimum energy paths between them. Furthermore, up-to-date methods will be developed for treating reduced 2-d models and time-dependent problems.

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Geldgeber: DFG via Teilprojekt des SFB 611 Singular Phenomena and Scaling in Mathematical Models

Dauer des Projekts: Juni 2009 - Dezember 2012

5. Vorkonditionierung von BE-Systemen für elektromagnetische Probleme

Anwendung Hierarchischer Matrizen auf Elektromagnetische Probleme

Kooperationsvertrag mit der ABB Schweiz AG.

Dauer des Projekts: April 2004 - März 2012

6. Vorkonditionierung iterativer Löser mittels hierarchischer Matrizen

Bei der iterativen Lösung von in Folge der Finite-Elemente-Methode auftretenden linearen Gleichungssystemen ist wegen der asymptotisch schlechten Kondition der Systemmatrix eine Vorkonditionierung nötig. Die Koeffizienten der zur Modellierung inkrementeller Umformverfahren verwendeten partiellen Differentialgleichungen sind stark veränderlich, so dass sich die etablierten Vorkonditionierungstechniken wie Mehrgitterverfahren oder BPX insbesondere wegen der fehlenden Gitterhierarchie für diese Anwendung nicht eignen. Im Projekt werden die für ihre Robustheit bekannten hierarchischen Matrizen auf Probleme der Umformtechnik angewendet.

 tschauf

Geldgeber: DFG via Schwerpunktprogramm SPP 1146

Dauer des Projekts: Oktober 2003 - August 2009.

Alte Forschungsprojekte von Prof. Dr. H.J. Pesch (pensioniert)

Universität Bayreuth -